高数一命题试卷二
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福建招考网整理自:中国招生考试在线 2005-8-5 11:37:02 |
高等数学(一)命题预测试卷(二) 一、选择题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分。在每个小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内) 1. 设 的定义域为 , ,则复合函数 的定义域为 ( ) A.(0,1) B. C. D. 2.函数 在点 处二阶可导,且 ,则对于 与 ,有( ) A. B. C. D. 3.与三个坐标轴夹角均相等的单位向量为( ) A. B. C. D. 4.幂级数 的收敛区间为( ) A. B. C. D. 5.方程 的通解为( ) A. B. C. D.
二、填空题(本大题共10个小题,10个空,每空4分,共40分。把答案填在题中横线上) 6.设 ,则 . 7. = . 8.设 可导,则 . 9.函数 在 上的最大值为 . 10. . 11. . 12.设 为 的一个原函数,则 . 13.设 ,则 . 14.设 ,则 . 15.改变二次积分 的次序,则I= .
三、解答题(本大题共13个小题,共90分。解答写出推理、演算步骤) 16.(本题满分6分) 计算 .
17.(本题满分6分) 计算 .
18.(本题满分6分) 把函数 展开为 的幂级数,并写出其收敛区间.
19.(本题满分6分) 求方程 的通解.
20.(本题满分) 求过点(0,0,0)且与平面 : 及 : 同时平行的直线方程.
21.(本题满分6分) 设函数 由方程 确定,其中F是可微函数,m与n为常数,求 .
22.(本题满分6分) 求函数 的极值及对应曲线的拐点.
23.(本题满分6分) 计算二重积分 ,其中 : .
24.(本题满分6分) 用级数的逐项求导或逐项求积运算,求级数 的和函数.
25.(本题满分6分) 设 由方程组 确定,求 .
26.(本题满分10分) 求由曲线 与直线 所围图形面积.
27.(本题满分10分) 设 ,证明方程 在 内至少有一个实根.
28.(本题满分10分) 设由方程 确定 ,求 及 .
参考答案 一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.C 5.B 二、填空题 6. 7.-1 8. 9. 10. 11. 12. 13.0 14. 15. 三、解答题 16.解 当 时, ,故 为有界变量 而 为无穷小量 故 另外(令 ),
故原式= . 17.解 (令 )
18.解
由 ,解得收敛区间为 . 19.解 对应齐次方程的特征方程为 ,得 因此对应齐次方程的通解为 由于原方程的自由项中,-2是特征方程的单根, 故设原方程的一个特解为 ,代入所给方程,并消去 ,得 ,于是 从而原方程的解为 . 20.解 的法线向量 , 的法线向量 故所求直线的方向向量可取为 故所求直线方程为 . 21.解 设 ,则 故
从而
故 22.解 令 ,得 又 . 为极大值点,极大值为 再令 ,得 ,列表如下 0 2 + 0 - 0 + 上凹 拐点 下凹 拐点 上凹 故此曲线有两个拐点 与 . 23.解 . 24.解 令 则 于是
25.解 由方程组的第一个方程式对 求导得 由方程组的第二个方程式对 求导得 得 因此 又 时,由方程组可得 故 . 26.解 如右图,联立方程 得两曲线的一个交点为(-1,1) 联立方程 ,得两曲线的 交点为(-1,1) 故
27.证 令 则 从而 由罗尔定理知 使 即 故方程 在 内至少 有一个实根. 28.解 设 则
故
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